Pitágoras y la música

En su estudio de la naturaleza de los sonidos musicales descubrió la relación numérica entre tonos que sonaban armónicamente bien y, por tanto, la música podía ser medida por medio de razones o enteros. Teniendo en cuenta que el sonido que produce una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión, cualquier variación en uno de estos tres parámetros afecta a la frecuencia de vibración de la cuerda. Pitágoras en sus pruebas con el monocordio, un rudimentario instrumento de una sola cuerda y una pequeña caja de resonancia que permite variar la longitud de la cuerda mediante un diapasón, llegó a la conclusión de que determinados cambios en la longitud de la cuerda proporcionaba sonidos “armónicos” entre sí. Este descubrimiento era una maravillosa confirmación de su teoría de que números y belleza eran uno y de que el mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos: existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.

Pitágoras de Samos

Pitágoras de Samos

El fenómeno físico que hay detrás de esta belleza o armonía es que cuando se pulsa una cuerda, no solamente se produce una onda del largo de la cuerda (la fundamental), sino que se forman además dos ondas de la mitad de la longitud, tres ondas de un tercio de la longitud, cuatro de un cuarto de la longitud, y así sucesivamente. Cada vibración secundaria, conocidas como armónicos, son más agudos y suaves (volumen) que el sonido de la fundamental. Aunque parecen pasar desapercibidos, son los responsables de la diferencia de sonido entre los diferentes instrumentos musicales.

Pitágoras no sabía nada de armónicos, pero sabía que la longitud de la cuerda con razones un medio y dos tercios producía unas combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de ellos. Esto es debido a que comparten gran parte de los armónicos. En sus experimentos decidió quedarse con tres intervalos: el diapasón, el diapente y el diatesarón que corresponden actualmente con la octava, la quinta y la cuarta de la escala resultante. En realidad, la regla que relaciona la longitud de la cuerda con la frecuencia no se formuló hasta el siglo XVII (Marin Mersenne). Estos experimentos llevaron a un método de afinación con intervalos en razón de enteros conocido como la afinación pitagórica. La escala producida por esta afinación se llamó escala pitagórica diatónica y fue usada durante muchos años en el mundo occidental. Sus intervalos pueden ser expresados como razones de enteros. Existen diferencias de afinación entre esta escala y la escala temperada usada actualmente.

Monocordio

Monocordio

La tradición pitagórica fue propiciada por Severino Boecio, filósofo y matemático, principal traductor de la teoría de la música en la Edad Media que describió detalladamente la escala diatónica. Él creía que la música y las proporciones que representaban los intervalos musicales estaban relacionadas con la moralidad y la naturaleza humana y prefería las proporciones pitagóricas.

El éxito de esta escala también se debe en gran parte a las características monofónicas del canto gregoriano (monódico y diatónico).

La escala pitagórica se basa en la creación del mayor número posible de cuartas y quintas perfectas, sacrificando la afinación de terceras y sextas mayores y menores. Una octava es una cuarta más una quinta (4/3*3/2=2), por tanto, subir una cuarta es lo mismo que bajar una quinta y viceversa. Todas las notas de la escala (incluidos sostenidos y bemoles), pueden alcanzarse subiendo o bajando doce quintas o doce cuartas sucesivamente. Cada vez que se sobrepasa la octava, se multiplica por dos la longitud de la cuerda para retroceder a la octava original así:

SOL (por 2:3) ⇒ RE (por 2:3) ⇒ LA (por 2:3) ⇒ MI (por 2:3) ⇒ SI

Calculando las longitudes:

do re mi fa sol la si do
1 8:9 64:81 3:4 2:3 16:27 128:243 1:2

La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 9:8 (tono), salvo en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (semitono diatónico, mayor que el semitono cromático). El problema reside en que aplicar dos semitonos no equivale a aplicar un tono. Además, la distribución de tonos y semitonos es irregular.

La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi) a 7 octavas.

(3/2)12 / (2:1)7 = 1’0136…

La diferencia entre estos dos ciclos se conoce como coma pitagórica.

Círculo de quintas

Círculo de quintas

Esta diferencia condiciona la escala según la tonalidad (o la nota en la que empieza la escala). Por ello, se crean varios modos distintos, de los que destacamos el modo mayor (a partir de do) y el modo menor (a partir de la).

También resulta interesante saber que muchos cantantes y violinistas tienden en favor de la entonación pitagórica en sus interpretaciones, lo que ratifica la importancia de las quintas y cuartas en la música.

Las afinaciones temperadas parten de la escala pitagórica, con la idea de alterar algunas notas en fracciones de coma sintónico antes mencionado, con el fin de acondicionar un poco las terceras, que suenan desafinadas. Pero eso será otro día…

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

3 comentarios

  1. Hola Tony, muy interesante tu artículo sobre Pitágoras y la música. Me interesaría consultar la continuación de este último párrafo, justo ahí donde explicarías el temperamento de las terceras y sextas. Qué sucede con las segundas? Y también, cómo podría consultar el artículo que citas “Música y Matemáticas” (la pagina no direcciona ya)

  2. Te agradezco si puedes contactarme por el correo. Cordialmente, Victoria.

    • Hola Victoria.
      Como ves, hace algunos años de esta entrada. El artículo original al que hace referencia es de Enrique Gracián, uno de los creadores de Sangakoo, una red social para aprender matemáticas haciendo matemáticas.
      No recuerdo si tengo archivada una copia del artículo original…

Deja un comentario

A %d blogueros les gusta esto: